Question

12．如图，∠ACB=90°，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB₁C₁，若BC=1，AB=2，则CB₁的长度是$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 过点B₁作B₁D⊥AC，垂足为D．由勾股定理先求得AC=$\sqrt{3}$，然后由旋转的性质可证明四边形ADB₁C₁是矩形，从而求得DC和DB₁的长，最后依据勾股定理可求得CB₁的长．

解答 解：过点B₁作B₁D⊥AC，垂足为D．

∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-C{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
由旋转的性质可知：∠ACB=∠C₁=90°，AC₁=AC=$\sqrt{3}$，C₁B₁=CB=1．
∵∠C₁=∠ADB₁=DAC₁=90°，
∴四边形ADB₁C₁是矩形．
∴DB₁=$\sqrt{3}$，AD=1．
∴DC=$\sqrt{3}-1$．
在Rt△DCB₁中，由勾股定理得：CB₁=$\sqrt{D{C}^{2}+D{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．
故答案为：$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、矩形的判定、勾股定理的应用，求得DC和DB₁的长度是解题的关键．