Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（-2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线y=-

3

3

x2+bx+c经过点B和点M．
（1）求这条抛物线解析式；
（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；
（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可确定该抛物线的解析式．
（2）连接圆心和切点、再过点C作x轴的垂线，利用射影定理和勾股定理即可确定点C的坐标，再代入（1）的抛物线中进行验证即可．
（3）△BCM和△BOQ中，OB=CM、∠BOQ=∠BCM=90°，若两个三角形全等，必须满足OQ=BC，求出BC长即可．

解答：解：（1）将点M（2，0）、B（-2，0）代入 y=-

3

3

x²+bx+c 中，得：

- 4 3 3 +2b+c=0 - 4 3 3 -2b+c=0

，解得

b=0 c= 4 3 3

∴抛物线的解析式：y=-

3

3

x²+

4 3

3

．

（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如右图．
在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM=2，BM=4，则：
DM=

CM2

BM

=

22

4

=1，CD=

CM2-DM2

=

22-1

=

3

，OD=OM-DM=1；
∴C（1，

3

）
当x=1时，y=-

3

3

x²+

4 3

3

=

3

，所以点C在（1）的抛物线上．

（3）△BCM和△BOQ中，OB=CM=2，∠BOQ=∠BCM=90°，若两三角形全等，则：
OQ=BC=

BM2-CM2

=

42-22

=2

3

∴当t=2

3

时，△MCB和△BOQ全等．

点评：此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式、直线与圆的位置关系以及全等三角形的判定和性质，属于基础知识的综合应用，难度不大．