Question

10．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF=AD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出内错角相等∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，再根据AAS证明△ECF≌△EDA，得出对应边相等即可；
（2）先证明四边形CDBF为平行四边形，再由∠BDC=90°得出四边形CDBF为矩形，然后证出CD=BD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CF∥AB，
∴∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在△ECF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFE=∠DAE}&{\;}\\{∠FCE=∠ADE}&{\;}\\{CE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△EDA（AAS），
∴CF=AD；
（2）解：四边形CDBF为正方形，理由如下：
∵CD是AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵CF=AD，
∴CF=BD；
∵CF=BD，CF∥BD，
∴四边形CDBF为平行四边形，
∵CA=CB，CD为AB边上的中线，
∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，
∴四边形CDBF为矩形，
∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴四边形CDBF为正方形．

点评 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．