Question

6．已知函数y=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$+mx+1是关于x的二次函数．
（1）m为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，二次函数的图象不经过第四象限？并求该抛物线的顶点坐标，当x为何值时．y随x的增大而增大？

Answer 1

分析 由次函数的定义可求得m的值，（1）当二次函数有最大值时，可知其开口向下，可求得相应的m的值，再根据其解析式可求得其最大值，利用增减性可求得答案；（2）由图象不经过第四象限可知其开口向上，可示得m的值，代入可求得其顶点坐标，再根据增减性可求得答案．

解答 解：
∵y=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$+mx+1是关于x的二次函数，
∴m²-3m+2=2，解得m=0或m=3，
（1）当二次函数有最大值时，则抛物线开口向下，
∴m=0，
∴抛物线解析式为y=-x²+1，
∴函数最大值为1，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小；
（2）当二次函数的图象不经过第四象限时，则抛物线开口向上，
∴m=3，
∴y=2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴抛物线顶点坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{8}$），对称轴为x=-$\frac{3}{4}$，
∴当x＞-$\frac{3}{4}$时，y随x的增大而增大．

点评 本题主要考查二次函数的性质，由二次函数的定义求得m的值是解题的关键．