Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-

3

2

，抛物线与x轴的交点为A，B，与y轴交于点C．抛物线的顶点为M，直线MC的解析式是y=

3

4

x-2．
（1）求顶点M的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）以线段AB为直径作⊙P，判断直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的对称轴线直线MC的解析式是y=

3

4

x-2联立即可解得顶点M的坐标；
（2）先求出C点坐标，在根据M、C两点坐标即可求得抛物线的解析式；
（3）连接PC，过M作MN⊥y轴于N，求得PM²=MC²+PC²即可证明直线MC与⊙P相切．

解答：解：（1）把x=-

3

2

代入y=

3

4

x-2中得，
y=

3

4

×(-

3

2

)-2=-

25

8

，
∴点M的坐标为（-

3

2

，-

25

8

）；（2分）

（2）把x=0代入y=

3

4

x-2中得y=-2，即点C的坐标为（0，-2），
由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+

3

2

)2-

25

8

，
把（0，-2）代入得-2=

9

4

a-

25

8

，
即a=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

(x+

3

2

)2-

25

8

=

1

2

x2+

3

2

x-2；（6分）

（3）如图，连接PC，过M作MN⊥y轴于N，
则OP=

3

2

，OC=2，MN=

3

2

，NC=

9

8

，
∴PC=

OP2+OC2

=

9 4 +4

=

5

2

，
∴PC=

1

2

AB，即点C在圆上，（8分）
∵PM2=(

25

8

)2=

625

64

，MC2=MN2+NC2=

9

4

+

81

64

=

225

64

PC2=

25

4

=

400

64

，
∴PM²=MC²+PC²
∴PC⊥MC，即直线MC与⊙P相切．（12分）

点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及圆与直线的位置关系等知识点，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．