Question

12．如图，已知△ABC，AB=AC，以边AC为直径作⊙O，BC与圆交于点D，过D作DE⊥AB于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若OD=5，sinB=$\frac{4}{5}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由AC为直径得到∠ADC=90°，则利用等腰三角形的性质得BD=CD，于是可判断OD为△ABC的中位线，得到OD∥AB，根据平行线的性质易得OD⊥DE，则可根据切线的判定定理判断DE为⊙O的切线；
（2）由OD为△ABC的中位线得到AB=2OD=10，在Rt△ABD中利用正弦定义可计算出AD=8，则利用勾股定理可计算出BD=6，于是可得cosB=$\frac{3}{5}$，然后在Rt△BDE中利用余弦定义可计算出BE的长．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
而AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OD为△ABC的中位线，
∴AB=2OD=10，
在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AD=$\frac{4}{5}$×10=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=6，
∴cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BDE中，∵cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．