Question

18．（1）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式为y=2x-1；
（2）直线y=2x+1右平移2个单位后的解析式是y=2x-3；
（3）如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于点B，将直线AB沿射线OC方向平移3$\sqrt{2}$个单位，求平移后的直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点的坐标，再求出该点绕原点旋转180°后的坐标，利用待定系数法即可得出其解析式；
（2）根据直线平移的性质即可得出结论；
（3）过C作CD⊥x轴于点D，由于直线AB沿射线OC方向平移3$\sqrt{2}$个单位且直线OC解析式为y=x，故可得出OD，OC的长，所以将直线AB沿射线OC方向平移3$\sqrt{2}$个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，据此可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B，
∴A（0，1），B（-$\frac{1}{2}$，0）．
∵点绕原点旋转180°后的坐标为A′（0，-1），B′（$\frac{1}{2}$，0），
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ \frac{1}{2}k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=2x-1．
故答案为：y=2x-1；

（2）∵直线向右平移，
∴平移后的解析式为：y=2（x-2）+1=2x-3．
故答案为：y=2x-3；

（3）过C作CD⊥x轴于点D，
∵点C为直线y=x上在第一象限内一点，沿射线OC方向平移3$\sqrt{2}$个单位，
∴OD=CD=3$\sqrt{2}$×cos45°=3，
∴将直线AB沿射线OC方向平移3$\sqrt{2}$个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度．
∴y=2（x-3）+1+3，即y=2x-2．

点评 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．