Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接AE、DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设△CDE的面积为 S1，四边形ABED的面积为 S2．若 S2＝5S1，求tan∠BAC的值；

（3）在（2）的条件下，若AE＝3，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）tan∠BAC＝；（3）⊙O的半径＝2．

【解析】

（1）连接DO，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．

（2）由S2=5 S1可得△ADB的面积是△CDE面积的4倍，可求得AD：CD=2：1，可得．则tan∠BAC的值可求；

（3）由（2）的关系即可知，在Rt△AEB中，由勾股定理即可求AB的长，从而求⊙O的半径.

解：（1）连接OD，

∴OD＝OB

∴∠ODB＝∠OBD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°．

∵E为BC的中点，

∴DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，

即∠EDO＝∠EBO．

∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，

∴AB⊥BC，

∴∠EBO＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵S2＝5 S1

∴S△ADB＝2S△CDB

∴

∵△BDC∽△ADB

∴

∴DB2＝ADDC

∴

∴tan∠BAC＝＝．

（3）∵tan∠BAC＝

∴，得BC＝AB

∵E为BC的中点

∴BE＝AB

∵AE＝3，

∴在Rt△AEB中，由勾股定理得

，解得AB＝4

故⊙O的半径R＝AB＝2．