Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一个动点（不与A、C重合），PE⊥AB，点E为垂足，射线EP交$\widehat{AC}$于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）当∠CAB=30°，点F是$\widehat{AC}$的中点时，判断以点A、O、C、F四点为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质结合题目条件可证明∠DCP=∠DPC，则可证明DC=DP；
（2）连接BC、AF，由题目条件可证明AF=FC=BC，且△BOC为等边三角形，可证明四边形AOCF是菱形．

解答 （1）证明：
如图1，连接OC，

∵CD是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CD，即∠DCP+∠OCP=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCP=∠OAC，
∵PE⊥AB，
∴∠OAC+∠APE=90°，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠OAC+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠DPC，
∴DC=DP；
（2）解：是菱形，
理由如下：
如图2，连接BC、AF，

∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC=BC，
∵点F是$\widehat{AC}$的中点，
∴AF=FC=BC，
∴AF=FC=CO=OA，
∴以点A、O、C、F四点为顶点的四边形是菱形．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．