已知.如图(1).△ABC.△AED均为等腰Rt△.且∠BAC=∠AED=90°.O为BC的中点.F为AD的中点.连OF．.此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,将△AED绕点A逆时针旋转45°.如图(2).此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,(2)将△AED绕点A继续旋转如图(3).此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．已知，如图（1），△ABC、△AED均为等腰Rt△（其顶点A、B、E重合），且∠BAC=∠AED=90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连OF．
（1）如图（1），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图（2），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）将△AED绕点A继续旋转如图（3），此时$\frac{OF}{EC}$的值又是多少？试证明你的结论？
（3）设在旋转过程中，边AD、AE交线段BC于M、N，如图（4），将△ABM沿直线AD折叠，设B的对应点为B₁，连NB₁，请完成图（4），并判断△MB₁N的形状直角三角形（不需证明）．

分析（1）如图1，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质求得即可；如图2，根据等腰直角三角形斜边中线的性质求得AF=AO，进而通过证得△AFO∽△AEC，根据相似三角形对应边成比例即可求得；
（2）如图3，通过证得△AFO∽△AEC，根据相似三角形对应边成比例即可求得；
（3）如图4，根据折叠的性质和证得△AB₁N≌△ACN得出∠AB₁N=∠C=45°，即可证得△MB₁N是直角三角形．

解答解：（1）如图1，
∵四边形ADEC是平行四边形，O为BC的中点，F为AD的中点，
∴OF=AC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵△ABC为等腰Rt△，且∠BAC=90°，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
如图2，在等腰Rt△ADE中，F为AD的中点，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
在等腰Rt△ABC中，O为BC的中点，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴△AFO∽△AEC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）如图3，连接AO，
在等腰Rt△ADE中，F为AD的中点，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
在等腰Rt△ABC中，O为BC的中点，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠CAO，
∴∠DAE-∠EAO=∠CAO-∠EAO，
即∠DAO=∠CAE，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴△AFO∽△AEC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（3）如图4，根据题意AB=AB₁，∠AB₁M=∠ABM=45°，∠BAD=∠B₁AD，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠B₁AD+∠CAE=45°，
∵∠DAE=∠B₁AM+∠B₁AN，
∴∠B₁AN=∠CAN，
∵AB=AB₁，AB=AC，
∴AB₁=AC，
在△AB₁N和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=AC}\\{∠{B}_{1}AN=∠CAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AB₁N≌△ACN（SAS），
∴∠AB₁N=∠C=45°，
∴∠MB₁N=AB₁M+AB₁N=45°+45°=90°，
∴△MB₁N是直角三角形；
故答案为：直角三角形．

点评本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．

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①求边AB的长；
②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH的面积S有最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由．