Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，交BD于点G，BC的中点为F，连接FG
（1）求证：BG=4GD；
（2）试猜想∠BGF与∠C是否相等？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
（3）猜想并证明线段BE与EC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=90°，AE⊥BD，得到AB²=BG•BD，AD²=GD•BD，根据BD是中线，得到AD=$\frac{1}{2}$AC，又AB=AC，所以AC²=BG•BD，$\frac{1}{4}A{C}^{2}=GD•BD$，即BG•BD=4GD•BD，得到BG=4GD．
（2）∠BGF=∠C；连接AF，由AB=AC，BC的中点为F，根据“三线合一”得到AF⊥BC，所以AB²=BF•BC，由AB²=BG•BD，得到BF•BC=BG•BD，即$\frac{BC}{BD}=\frac{BG}{BF}$，证明△BCD∽△BGF，根据相似三角形的性质得到∠BGF=∠C．
（3）延长BA到点H，使AH=AD，连接CH，证明△ABD≌△ACH，得到∠ABD=∠ACH，证明∠ACH=∠EAC，得到AE∥HC，可得$\frac{BA}{AH}=\frac{BE}{EC}$，由BD是中线，所以AB=AC=2AD，可得$\frac{BA}{AH}=\frac{AB}{AD}=\frac{2AD}{AD}=2$，所以$\frac{BE}{EC}$=2，故BE=2EC．

解答 解：（1）∵∠BAD=90°，AE⊥BD，
∴AB²=BG•BD，AD²=GD•BD，
∵BD是中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC
∵AB=AC，
∴AC²=BG•BD，$\frac{1}{4}A{C}^{2}=GD•BD$，
∴BG•BD=4GD•BD．
∴BG=4GD．
（2）∠BGF=∠C
如图1，连接AF，

∵AB=AC，BC的中点为F，
∴AF⊥BC，
∴AB²=BF•BC，
∵AB²=BG•BD，
∴BF•BC=BG•BD，
即$\frac{BC}{BD}=\frac{BG}{BF}$，
∵∠DAC=∠FBG，
∴△BCD∽△BGF，
∴∠BGF=∠C．
（3）如图2，延长BA到点H，使AH=AD，连接CH，

在△ABD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAH=9{0}^{°}}\\{AD=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH，
∴∠ABD=∠ACH，
∵AE⊥BD，
∴∠ABD+∠BAG=90°，
∵∠EAC+∠BAG=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
∴∠ACH=∠EAC
∴AE∥HC，
∴$\frac{BA}{AH}=\frac{BE}{EC}$，
∵BD是中线
∴AB=AC=2AD
∴$\frac{BA}{AH}=\frac{AB}{AD}=\frac{2AD}{AD}=2$，
∴$\frac{BE}{EC}$=2，
故BE=2EC．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．