Question

1．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发．问：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）经过几秒，△PBQ的面积最大？
（3）经过几秒，点P，Q之间的距离最小？

Answer 1

分析 （1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）将△PBQ的面积表示出来，根据配方法求出二次函数最值即可；
（3）首先表示出PQ的长，进而利用二次函数最值求出即可．

解答 解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm²则：
BP=6-x，BQ=2x，
所以S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，即x²-6x+8=0，
可得：x=2或4（舍去），
即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm²．

（2）设经过y秒，△PBQ的面积最大，
S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×（6-y）×2y=-y²+6y=-（y-3）²+9，
则经过3秒，△PBQ的面积最大为9cm²；

（3）设t秒时，点P，Q之间的距离最小，则PQ²=（6-t）²+4t²=5t²-12t+36=5（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{144}{5}$，
故t=$\frac{6}{5}$秒时，PQ的值最小．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，根据题意表示出△PBQ的面积是解题关键．