【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)
【答案】(1)BC与⊙O相切,理由见解析;(2)①⊙O的半径为2.②S阴影= .
【解析】试题(1)根据题意得:连接OD,先根据角平分线的性质,求得∠BAD=∠CAD,进而证得OD∥AC,然后证明OD⊥BC即可;
(2)设⊙O的半径为r.则在Rt△OBD中,利用勾股定理列出关于r的方程,通过解方程即可求得r的值;然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果.
试题解析:(1)相切.
理由如下:
如图,连接OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠BAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC.
又∠C=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC与⊙O相切
(2)①在Rt△ACB和Rt△ODB中,
∵AC=3,∠B=30°,
∴AB=6,OB=2OD.又OA=OD=r,
∴OB=2r,
∴2r+r=6,
解得r=2,
即⊙O的半径是2
②由①得OD=2,则OB=4,BD=2,
S阴影=S△BDO-S扇形CDE=×2×2-=2-π
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【题目】已知△ABC,分别以BC,AB,AC为边作等边三角形BCE,ACF,ABD
(1)若存在四边形ADEF,判断它的形状,并说明理由.
(2)存在四边形ADEF的条件下,请你给△ABC添个条件,使得四边形ADEF成为矩形,并说明理由.
(3)当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,则∠AEB的度数为( ).
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
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【题目】如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为( )
A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°
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【题目】已知一次函数,其中.
(1)若点在y1的图象上.求a的值:
(2)当时.若函数有最大值2.求y1的函数表达式;
(3)对于一次函数,其中,若对- -切实数x, 都成立,求a,m需满足的数量关系及 a的取值范围.
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【题目】平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放,分别延长DA和QP交于点O,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转,如图②,当点P恰好落在BC边上时,S阴影=________.
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【题目】如图,点和点在数轴上对应的数分别为和,且.
(1)线段的长为 ;
(2)点在数轴上所对应的数为,且是方程的解,在线段上是否存在点使得?若存在,请求出点在数轴上所对应的数,若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动,运动时间为秒,点为线段的中点,点为线段的中点,若,求的值.
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