Question

15．如图，在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点的坐标分别为A（-6，9），B（0，9），C（3，0），D（-3，0），抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）过A、B两点，顶点为M．

（1）若抛物线过点C，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点M落在△ACD的内部（包括边界），求a的取值范围；
（3）若a＜0，连结CM交线段AB于点Q（Q不与点B重合），连接DM交线段AB于点P，设S₁=S_△ADP+S_△CBQ，S₂=S_△MPQ，试判断S₁与S₂的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，从而可解得a、b、c的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）点A、B的纵坐标相等，因此抛物线的对称轴为x=-3，连接AC，交x=-3与点E，先求得AC的解析式，然后求得点E的坐标，由点M在△ACD的内部，从而可知点M在线段ED上，然后求得经过点A、B、D和点A、B、E的解析式，从而可求得a的范围；
（3）先根据题意画出图形，当点Q与点B重合时，可证明△ADP≌△PBM，由于点Q与点B不重合，故此△ADP的面积＞△PBM的面积，从而可知判断出S₁与S₂的大小关系．

解答 解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=9}\\{c=9}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=9．
将a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=9代入得y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$-2x+9．
（2）如图1所示：连接AC交直线x=-3与点E．

∵点A、B的纵坐标相等，
∴点M在直线x=-3上．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=9}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
将k=-1，b=3代入得：y=-x+3．
∵将x=-3代入得；y=-（-3）+3=6．
∴点E的坐标为（-3，6）．
设经过点A、B、E三点的抛物线的解析式为y=a（x+3）²+6，将x=0，y=9代入得：9a+6=9．
解得：a=$\frac{1}{3}$．
设经过点A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+3）²，将x=0，y=9代入得：9a=9．
解得：a=1．
∴$\frac{1}{3}$≤a≤1．
（3）如图2所示：当点Q与点B重合时．

∵DM为抛物线的对称轴，
∴DM是AB的垂直平分线．
∴AP=PB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠PBM．
在△APD和△BPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PBM}\\{AP=BP}\\{∠APD=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPM．
∴S_△APD=S_△PMB．
∵点Q在AB上且与点B不重合，
∴PQ＜PB．
∴S_△APD＞S_△PMB．
∴S_△ADP+S_△CBQ＞S_△MPQ．
∴S₁＞S₂．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定，求得经过A、B、E三点的抛物线的解析式和经过点A、B、D三点的抛物线的解析式，从而确定出a的取值范围是解题的关键．