Question

3．如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，则下列五个结论：①DQ=DE；②∠BAP=∠AQE；③AQ⊥PQ；④EQ=2PC；⑤S_△APQ=S_矩形ABCD，其中正确的个数有（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，易证得△ADQ≌△ADE，即可得DQ=DE；利用等角的余角相等，可得∠BAP=∠AQE正确，又因为∠AQD不一定等于∠PQC，故AQ⊥PQ不能确定，DQ与CP的值没法确定，EQ=2CP不一定正确；易证得△ADE∽△PCE，即可得DE•PC=EC•AD，即可得S_△APQ=S_矩形ABCD．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADQ=∠ADE=90°，
在△ADQ和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠QAD}\\{AD=AD}\\{∠ADQ=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE；故①正确；
∵∠BAP+∠PAD=∠AQE+∠QAD=90°，∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE，故②正确；
∵当∠AQD=∠PQC时，可得∠AQP=90°，
∴此两角的值不能确定，故③错误；
∵DQ=DE，
∴EQ=2DQ，
∵DQ与CP不一定相等，故④错误；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CPE，
∵∠AED=∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴AD：PC=DE：CE，
∴DE•PC=EC•AD，
∵S_△APQ=S_△AEQ+S_△PEQ=$\frac{1}{2}$QE•AD+$\frac{1}{2}$QE•PC=DE•AD+DE•PC
S_矩形ABCD=S_△ADE+S_{四边形ABCE}=$\frac{1}{2}$DE•AD+$\frac{1}{2}$（EC+AB）•BC=$\frac{1}{2}$DE•AD+$\frac{1}{2}$（DE+2EC）•AD=$\frac{1}{2}$DE•AD+$\frac{1}{2}$DE•AD+EC•AD=DE•AD+EC•AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．故⑤正确．
故选B．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形面积的求解方法．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用．