Question

【题目】如图，已知平面直角坐标系中，点C（3，4），以OC为边作菱形OABC，且点A落在x轴的正半轴上，点D为y轴上的一个动点，设D（0，m），连结DB，交直线OC于点E．

（1）填空：B的坐标为（　 　），sin∠AOC＝　 　；

（2）当点D在y轴正半轴时，记△DEO的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2时，求m的值．

（3）过点D，O，A作⊙M，交线段OC于点F．

①当⊙M与菱形OABC一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．

②当OD＝DE时，直接写出OE:EF的值．

Answer 1

【答案】（1）（8，4），；（2）m＝；（3）①满足条件的m的值为或；②OE:EF的值8:5．

【解析】

（1）如图1中，作CH⊥OA于H．根据点C的坐标求出OH，CH 利用勾股定理求出OC即可解决问题；

（2）如图1中，延长BC交OD于F．由S1=S2，推出S△OCF=S△BDF，由此构建方程即可解决问题；

（3）①分两种情形：如图2中，当⊙M与BC相切时，根据PQ=DM，构建方程即可解决问题．如图3中，当⊙M与AB相切时，AD⊥AB，设AD交OC于Q．根据tam∠OAD=tan∠DOC=，构建方程即可解决问题；

②如图4中，作BG⊥BC交OC的延长线于G，连接DF，AF，作FP⊥OA于P．首先求出BG，再证明BE=BG，根据DE+BE=BD，构建方程求出m，设OF=5k，则FP=4k，OP=3k，在Rt△APF中，根据AF2=PF2+PA2，构建方程求出k即可解决问题．

（1）如图1中，作CH⊥OA于H．

∵C(3，4)，CH⊥OA，

∴OH＝3，CH＝4，

∴OC＝＝＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝AB＝OC＝BC＝5，BC∥OA，

∴B(8，4)，

∴sin∠AOC＝＝．

（2）如图1中，延长BC交OD于F．

∵S1＝S2，

∴S△OCF＝S△BDF，

∴×3×4＝×(4﹣m)×8，

解得m＝．

（3）①如图2中，延长BC交OD于P，作MQ⊥OD于Q．

当⊙M与BC相切时，PQ＝DM．

则有4﹣＝，

解得m＝．

如图3中，当⊙M与AB相切时，AD⊥AB，设AD交OC于Q．

∵OC//AB，

∴OC⊥AD，

∴∠AQD＝90°，

∴∠DOQ+∠AOQ＝90°，∠AOQ+∠OAQ＝90°，

∴∠DOQ＝∠OAQ，

∴tam∠OAD＝tan∠DOC＝，

∴＝，

∴＝，

∴m＝．

综上所述，满足条件的m的值为或．

②如图4中，作BG⊥BC交OC的延长线于G，连接DF，AF，作BH⊥OG于H，作FP⊥OA于P．

∵BC//OA，

∴tan∠GCB＝tan∠COA＝＝，

∴BG＝，

∵OD//BG，

∴∠G＝∠DOE，

∵DO＝ED，

∴∠DOE＝∠DEO＝∠BEG，

∴∠G＝∠BEG，

∴BE＝BG＝，

∵DE+BE＝BD，

∴(m+)2＝82+(4﹣m)2，

解得m＝，

设OF＝5k，则FP＝4k，OP＝3k，

∵∠ODF＝∠DAF，

∴tan∠DAF＝＝，

∴sin∠DAF＝，

∵AD＝＝，

∴AF＝，

在Rt△APF中，∵AF2＝PF2+PA2，

∴×(m2+25)＝(4k)2+(5﹣3k)2，

把m＝代入，整理得：45k2﹣54k+13＝0，

解得k＝（舍去）或，

∴OF＝．

∵sin∠G＝sin∠DAF＝，

∴GH=，

∴EG=2GH=，

∵BG//OD，

∴△ODE∽△GBE，

∴，

∵OE＝，

∴EF＝OF﹣OE＝，

∴＝＝．