【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+3分别交x轴、y轴于A,C两点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),经过A,C两点,与x轴交于点B(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为直线AC上一点,点E为抛物线上一点,且D,E两点的横坐标都为2,点F为x轴上的点,若四边形ADEF是平行四边形,请直接写出点F的坐标;
(3)若点P是线段AC上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,求△ACQ的面积的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)(7,0);(3).
【解析】
试题分析:(1)将x=0代入直线的解析式求得点C(0,3),将y=0代入求得x=﹣3,从而得到点A(﹣3,0),设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),将点C的坐标代入可求得a=﹣1,从而得到抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)将x=2分别代入直线和抛物线的解析式,求得点D(2,5)、E(2,﹣5),然后根据平行四边形的对角线互相平分可求得点F的坐标;
(3)如图2所示:设点P的坐标为(a,a+3),则点Q的坐标为(a,﹣a2﹣2a+3).QP=﹣a2﹣3a,由三角形的面积公式可知:△ACQ的面积=﹣
然后利用配方法求得二次函数的最大值即可
解:(1)∵将x=0代入y=x+3,得y=3,
∴点C的坐标为(0,3).
∵将y=0代入y=x+3得到x=﹣3.
∴点A的坐标为(﹣3,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),将点C的坐标代入得:﹣3a=3.
解得:a=﹣1.
∴抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1).
整理得:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵将x=2代入y=x+3得,y=5,
∴点D(2,5).
将x=2代入y=﹣x2﹣2x+3得:y=﹣5.
∴点E的坐标为(2,﹣5).
如图1所示:
∵四边形ADFE为平行四边形,
∴点F的坐标为(7,0).
(3)如图2所示:
设点P的坐标为(a,a+3),则点Q的坐标为(a,﹣a2﹣2a+3).
QP=﹣a2﹣2a+3﹣(a+3)=﹣a2﹣2a+3﹣a﹣3=﹣a2﹣3a.
∵△ACQ的面积=,
∴△ACQ的面积==
﹣
=
(a
)2+
.
∴△ACQ的面积的最大值为.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 要了解人们对“低碳生活”的了解程度,宜采用普查方式
B. 随机事件的概率为50%,必然事件的概率为100%
C. 一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5
D. 若甲组数据的方差是0.168,乙组数据的方差是0.034,则甲组数据比乙组数据稳定
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【题目】某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费,且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)有月租费的收费方式是 (填①或②),月租费是 元;
(2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式;
(3)请你根据用户通讯时间的多少,给出经济实惠的选择建议.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上的一点,BD与过点C的直线互相垂直,垂足为点D,BD与半圆O交于点E,且BC平分∠DBA.
(1)求证:CD是半圆O的切线.
(2)若DC=8,BE=4,求圆的直径.
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【题目】下列四个命题:①对顶角相等;②内错角相等;③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等。其中真命题的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:
①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),
其中正确结论的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
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【题目】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
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