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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上的一点,BD与过点C的直线互相垂直,垂足为点D,BD与半圆O交于点E,且BC平分DBA

(1)求证:CD是半圆O的切线.

(2)若DC=8,BE=4,求圆的直径.

【答案】(1)见解析;(2)4

【解析】

试题分析:(1)首先连接OC,由OB=OC,BC平分DBA,易证得OCBD,又由BDCD,即可证得结论;

(2)首先根据切割线定理求得BD,然后根据勾股定理求得BC,连接AC,通过证得ABC∽△CBD,然后由相似三角形的对应边成比例,求得AB.

(1)证明:连接OC,

OB=OC

∴∠1=2

BC平分DBA

∴∠2=3

∴∠1=3

OCBD

BDCD

OCCD

C是半圆O上的一点,

CD与半圆O相切;

(2)连接AC,

CD是切线,

CD2=DEBD,

DC=8,BE=4,

设BD=x,则82=x(x﹣4),

解得x=2+2

BD=2

∵∠BDC=90°

BC2=CD2+BD2=64+(2+22

AB是直径,

∴∠ACB=90°=BDC

∵∠BDC=ABC

∴△CDB∽△ACB

AB==4

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(1)思路梳理

AB=AD

ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合

∵∠ADC=B=90°

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线根据SAS,易证AFG ,从而可得EF=BE+DF.

(2)类比引申

如图2,四边形ABCD中,AB=AD,BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,EAF=45°.若BD都不是直角,则当BD满足等量关系 时,仍有EF=BE+DF.

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