Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）射线OM从y轴正半轴开始，绕点O顺时针方向以每秒15°的速度旋转，几秒后射线OM与⊙O₁相切？（切点为M）
（3）当射线OM与⊙O₁相切时，在射线OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆心的坐标和圆的半径求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据切线的定义可得O₁M⊥OM，然后利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠O₁OM=30°，再分OM在第一象限和第四象限两种情况求出旋转角，再列式求出时间即可；
（3）①OM在第一象限时，过点A作AP₁⊥x轴交OM于P₁，解直角三角形求出P₁A，然后写出点P的坐标即可；过点A作AP₂⊥OM于P₂，过点P₂作P₂H⊥x轴于H，先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出P₂A，再求出OP₂，然后求出OH、P₂H，再写出点P的坐标即可；②OM在第四象限时，利用轴对称的性质写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）∵圆心O₁的坐标为（2，0），⊙O₁的半径是1，
∴点A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点，
∴

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
解得

b=4 c=-3

，
∴二次函数解析式为y=-x²+4x-3；

（2）∵OM是⊙O₁的切线，
∴O₁M⊥OM，
∵OM₁=

1

2

OO₁=1，
∴∠O₁OM=30°，
①OM在第一象限时，射线OM旋转了90°-30°=60°，
∵射线OM从y轴正半轴开始，绕点O顺时针方向以每秒15°的速度旋转，
∴射线OM旋转了60°÷15°=4秒；
②由对称性可知OM在第四象限内与⊙O₁相切于点M，
射线OM旋转了90°+30°=120°，
∵射线OM从y轴正半轴开始，绕点O顺时针方向以每秒15°的速度旋转，
∴射线OM旋转了120°÷15°=8秒；
综上所述，4秒或8秒后射线OM与⊙O₁相切；

（3）存在．
①OM在第一象限时，过点A作AP₁⊥x轴交OM于P₁，可得Rt△OP₁A∽Rt△△OO₁M，
P₁A=OA•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴点P₁（1，

3

3

），
②过点A作AP₂⊥OM于P₂，过点P₂作P₂H⊥x轴于H，可得Rt△OAP₁∽Rt△△OO₁M，
在Rt△OP₂A中，P₂A=

1

2

OA=

1

2

×1=

1

2

，
OP₂=OA•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂×cos30°=

3

2

×

3

2

=

3

4

，
P₂H=OP₂×sin30°=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
∴点P₂（

3

4

，

3

4

）；
②OM在第四象限内与⊙O₁相切于点M时，由对称性知，还有P₃（1，-

3

3

），P₄（

3

4

，-

3

4

），
综上所述，符合条件的点P有P₁（1，

3

3

），P₂（

3

4

，

3

4

），P₃（1，-

3

3

），P₄（

3

4

，-

3

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，圆的切线的定义，相似三角形的判定，解直角三角形，轴对称的性质，难点在于（2）（3）要分情况讨论．