Question

如图，点E、F分别是正方形ABCD边AB、CD上的两点，△CEF是边长为4的等边三角形，则正方形的边长是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，根据等边三角形的性质可得AE=AF，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据等腰直角三角形的性质求出CE，设正方形的边长为x，表示出BE，然后利用勾股定理列方程求解即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△CEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF AB=AD

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=

2

2

×4=2

2

，
设正方形的边长为x，则BE=x-2

2

，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即x²+（x-2

2

）²=4²，
整理得，x²-2

2

x-4=0，
解得x₁=

2

+

6

，x₂=

2

-

6

（舍去），
所以，正方形的边长为

2

+

6

．
故答案为：

2

+

6

．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．