【题目】(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).
请回答:∠ADB= °,AB= .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.
【答案】(1)75;4;(2)CD=4.
【解析】(1)根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°,结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的性质可求出OD的值,进而可得出AD的值,由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角对等边可得出AB=AD=4,此题得解;
(2)过点B作BE∥AD交AC于点E,同(1)可得出AE=4,在Rt△AEB中,利用勾股定理可求出BE的长度,再在Rt△CAD中,利用勾股定理可求出DC的长,此题得解.
(1)∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴.
又∵AO=3,
∴OD=AO=,
∴AD=AO+OD=4.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=4.
(2)过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴.
∵BO:OD=1:3,
∴.
∵AO=3,
∴EO=,
∴AE=4.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(4)2+BE2=(2BE)2,
解得:BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,
解得:CD=4.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,∠D=2∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:DE=DC;
(3)若OD=5,CD=3,求AC的长.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知AB=AC,延长CD至点E,使CE=BD,连结AE.
(1)求证:AD平分∠BDE;
(2)若AB∥CD,求证:AE是⊙O的切线.
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【题目】在抗击新冠肺炎疫情期间,老百姓越来越依赖电商渠道获取必要的生活资料.小石经营的水果店也适时加入了某电商平台,并对销售的水果中的部分(如下表)进行促销:参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满128元减元.每笔订单顾客网上支付成功后,小石会得到支付款的80%.
参与促销水果 | |
水果 | 促销前单价 |
苹果 | 58元/箱 |
耙耙柑 | 70元/箱 |
车厘子 | 100元/箱 |
火龙果 | 48元/箱 |
(1)当时,某顾客一次购买苹果和车厘子各1箱,需要支付_____元,小石会得到______元;
(2)在促销活动中,为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折,则的最大值为_____.
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【题目】如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为( )
A.30°B.35°C.70°D.45°
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【题目】如图1,在三角形纸板中,,,,点是边上的一个点(不与点重合),沿折叠纸板,点的对应点是点.
(1)如图2,当点在射线上时,________°.
(2)若,且点不在直线右侧,则点到的距离是__________.
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【题目】为了解某县2015年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况,随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩,按A,B,C,D四个等级进行统计分析,并绘制了如下尚不完整的统计图:
请根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽取的学生有 名;补全条形统计图1;
(2)根据调查结果,请估计该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数是
(3)某校A等级中有甲、乙、丙、丁4名学生成绩并列第一,现在要从这4位学生中抽取2名学生在校进行学习经验介绍,用列举法求出恰好选中甲乙两位学生的概率。
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【题目】某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源,随机抽取部分学生了解情况,并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图.
(1)频数分布表中的值:_____________,______________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校有1000名学生,估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名?
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【题目】如图,已知AB∥CD,直线EF分别交直线AB、CD于点G、H,GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD.
(1)求证GI⊥HI.
(2)请用文字概括(1)所证明的命题: .
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