Question

【题目】如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OE+OD＝OC，见解析；（2）OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC，见解析

【解析】

（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OE＝OC，即可得出结论；

（2）分两种情况画图，同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论．

解：（1）OE+OD＝OC．理由如下：

∵OM是∠AOB的平分线，

∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，

∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°

∴∠OCD＝60°

∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，

在Rt△OCD中，OD＝OCcos30°＝OC，

同理：OE＝OC，

∴OD+OE＝OC；

（2）OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．理由如下：

①如备用图1，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，

∴∠OFC＝∠OGC＝90°

∵∠AOB＝60°，

∴∠FCG＝120°，

同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，

∴OF+OG＝OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，

∴CF＝CG，

∵∠DCE＝∠FCG＝120°，

∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE（ASA）

∴DF＝EG，

∴OF＝OD+DF＝span>OD+EG，OG＝OE﹣GE，

∴OF+OG＝OD+OE，

∴OD+OE＝OC；

②如备用图2，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，

∴∠OFC＝∠OGC＝90°

∵∠AOB＝60°，

∴∠FCG＝120°，

同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，

∴OF+OG＝OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，

∴CF＝CG，

∵∠DCE＝∠FCG＝120°，

∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE（ASA）

∴DF＝EG，

∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣GE，

∴OF+OG＝OE﹣OD，

∴OE﹣OD＝OC；

综上所述：线段OD、OE与OC之间的数量关系为：OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．