Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：

①△AEF∽△DCE；

②CE平分∠DCF；

③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；

④直线EF是△DCE的外接圆的切线；

其中，正确的个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵BF=3AF，

设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，

∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，

∴AE：DE=AE：CD，

∴△AEF∽△DCE，

∴①正确；∠AEF=∠DCE，

∵∠DEC+∠DCE=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，

∴∠CEF=90°，

∵EF=，CE=，

∴EF：CE=1：2=DE：CD，

∴△CEF∽△CDE，

∴∠FCE=∠DCE，

∴CE平分∠DCF，

∴②正确；

∵∠B=90°，∠CEF=90°，

∴∠B+∠CEF=180°，

∴B、C、E、F四个点在同一个圆上，

∴③正确；

∵△DCE是直角三角形，

∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，

∵∠CEF=90°，

∴EF⊥CE，

∴直线EF是△DCE的外接圆的切线，

∴④正确，

正确的结论有4个．

故选D．