Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM＋PN有最小值，连接ON，OM，利用垂径定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，进一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的长度即可．

解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，

连接ON，OM，

则OB垂直平分MM'，，

∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，

∵N是的中点，

∴，

∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，

∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，

∵AB＝8，

∴ON＝OM'＝4，

在等腰Rt△ONM'中，

NM'＝ON＝4，

∵MP＝M'P，

∴MP+NP＝M'N＝4，

故答案为：4．