Question

12．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF²=ME²+NF²．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠BAG=∠DAF，证出∠GAE═∠EAF，由SAS即可得出△AEG≌△AEF；
（2）连接GM，由正方形的性质和已知条件得出BE=DF，得出BG=DF=BE=BF，得出∠BMG=45°，因此∠EMG=90°，由勾股定理得出EG²=MG²+ME²=NF²+ME²，再由EG=EF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠BAG=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=90°-45°=45°，
即∠GAE=∠EAF，
∴在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}&{\;}\\{∠GAE=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS）；
（2）证明：连接G，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠C=90°，
∵∠CEF=45°
∴CE=CF，DF=DN，BM=BE，
∵BC=CD，
∴BE=DF，
∵BG=DF，
∴BG=DF=BE=BM，
∴∠BMG=45°，
∵∠EMB=45°，
∴∠EMG=90°，
∴MG=$\sqrt{2}$BM，
同理：NF=$\sqrt{2}$DF，
∴MG=NF，
∴EG²=MG²+ME²=NF²+ME²，
∵△AEG≌△AEF，
∴EG=EF，
∴EF²=ME²+NF²．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．