Question

【题目】已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为__．

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：（1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；

（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF，就可以得出S四边形OECF=S△BOC，S△BOC的面积就可以得出结论．

详解：（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O

∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，

∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．

∴∠EOF=90°

∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∴∠BOE=∠COF．

在△OBE和△OCF中，

∠BOE=∠COF，OB=OC，∠OBC=∠OCF，

∴△BOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF；

（2）解：∵△BOE≌△COF，

∴S△BOE=S△COF

∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE，

即S四边形OECF=S△BOC．

∵S△BOC=2，

∴两个正方形重叠部分的面积为2．

故答案为：2．