【题目】数学阅读:
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式:若一个三角形的三边长分别为a、b、c,则这个三角形的面积为,其中.这个公式称为“海伦公式”.
数学应用:
如图1,在△ABC中,已知AB=9,AC=8,BC=7.
(1)请运用海伦公式求△ABC的面积;
(2)设AB边上的高为,AC边上的高,求的值;
(3)如图2,AD、BE为△ABC的两条角平分线,它们的交点为I,求△ABI的面积.
【答案】(1) △ABC面积是;(2);(3)S△ABC =
【解析】分析:(1)直接代入海伦公式计算.(2)利用海伦公式求出面积,再用一般求三角形面积公式求高.(2)角平分线的交点,到各个边的距离相等,所以可以用三个三角形的面积等于总面积,且高都相等,列方程可求出角分线到各边的距离.
详解:
(1) =12△ABC面积是 .
(2)等面积法求出,
(3)如图,过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC,垂足分别为点F、G、H,
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线,∴IF=IH=IG,
∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI, ∴(9IF+8IF+7IF)=,解得IF=
故S△ABC =ABFI=.
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【题目】如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,∠4=65°,求证∠ACB=∠4.请填空完
成证明过程:
∵∠1+∠2=180°(______________)∠1+∠______=180°
∴∠2=∠DFE(___________________)
∴AB∥EF(____________________)
∴∠3=∠ADE(____________)
又∵∠3=∠B
∴∠ADE=∠_______
∴DE∥BC(____________)
∴∠ACB=∠4(_______________)
∴∠ACB=65°
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【题目】邮递员骑摩托车从邮局出发,先向东骑行2km到达A村,继续向东骑行3km到达B村,然后向西骑行9km到C村,最后回到邮局.
(1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,用1个单位长度表示1km,请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置;
(2)C村离A村有多远?
(3)若摩托车每1km耗油0.03升,这趟路共耗油多少升?
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【题目】某商场将进价为4000元的电视以4400元售出,平均每天能售出6台.为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:这种电视的售价每降价50元,平均每天就能多售出3台.
(1)现设每台电视降价x元,商场每天销售这种电视的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式.(不要求写出自变量的取值范围)
(2)每台电视降价多少元时,商场每天销售这种电视的利润最高?最高利润是多少?
(3)商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元,同时又要使百姓得到更多实惠,每台电视应降价多少元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于3600元?
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【题目】如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°.
图1 图2
(1)图1中:∠DEF=_________,图2中:∠DEF=_________;
(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题.
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【题目】已知,如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合,A′B′交BC于点E,A′D′交CD于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若正方形ABCD的对角线长为4,求两个正方形重叠部分的面积为__.
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【题目】在我县中小学读书活动中,某校对部分学生做了一次主题为“我最喜爱的图书”的调查活动,将图书分为甲、乙、丙、丁四类,学生可根据自己的爱好任选其中一类,学校根据调查情况进行了统计,并绘制了不完整条形统计图和扇形统计图.
请你结合图中的信息,解答下列问题(其中(1)、(2)直接填答案即可);
(1)本次调查了 名学生;
(2)被调查的学生中,最喜爱丁类图书的有 人,最喜爱甲类图书的人数被调查人数的 %.
(3)在最喜爱丙类图书的学生中,女生人数是男生人数的1.5倍,若这所学校约有学生1800人,请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人.
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【题目】如图,剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A. ∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B. AB=BC
C. AB=CD,AD=BC D. ∠DAB+∠BCD=180°
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