Question

【题目】如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	0.78	1.76	2.85	3.98	4.95	4.47
y2/cm	4	4.69	5.26		5.96	5.94	4.47

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

①连接BE，则BE的长约为　 　cm．

②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①6；②6或4.47．

【解析】

（1）由题意得出BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD＝，得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC即可；

（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；

（3）①∵BC＝6时，CD＝AC＝4.47，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BE＝BC＝6即可；

②分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6；

当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6，由图象可得：BC＝4.47．

（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值知：BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：

∵CD⊥AB，

∴（cm），

∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），

∴（cm）；

补充完整如下表：

（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：

（3）①∵BC＝6cm时，CD＝AC＝4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，

∴BE＝BC＝6cm，

故答案为：6；

②以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：

当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6cm；

当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6cm，由图象可得：BC＝4.47cm；

综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm；

故答案为：6或4.47．