Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD=90°，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴AC=CB．

（2）

解：①由旋转得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠DAF=∠ABD，

∴∠DAF=∠ADB，

∴AF∥BB，

∴∠BAC=∠ABD，

∵∠ABD=∠FAD

由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°，

由旋转得，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED，

∴AF=BE，

②如图，

由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，

由旋转得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，

∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，

∴∠BAD=36°，

设BD=x，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD=∠GBD=36°

∴AG=BG=BC=x，

∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，

∵∠BDG=∠ADB，

∴△BDG∽△ADB，

∴ ．

∴ ，

∴ ，

∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，

∴△AFD∽△BED，

∴ ，

∴AF= x．

【解析】（1）由旋转得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，从而得出∠ABC=45°，最后判断出△ABC是等腰直角三角形；
　　　　（2）①由旋转得到∠BAC=∠BAD，再根据∠DAF=∠DBA，从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；②根据题意画出图形，先求出角度，得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形，再用相似求出， ，最后判断出△AFD∽△BED，代入即可．此题是几何变换综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，解本题的关键是求出顶角为36°的等腰三角形的腰与底的比值，也是本题的难点．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．