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【题目】(感知)如图,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),∠A=∠B=∠DPC=90°.易证:△DAP∽△PBC(不要求证明).

(探究)如图,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),∠A=∠B=∠DPC.

(1)求证:△DAP~△PBC.

(2)PD=5,PC=10,BC=9,求AP的长.

(应用)如图,在△ABC中,AC=BC=4,AB=6,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),连结CP,作∠CPE=∠A,PE与边BC交于点E.当CE=3EB时,求AP的长.

【答案】【探究】(1)证明见解析(2)AP=4.5;【应用】AP=3+或AP=3﹣

【解析】

探究:(1)根据外角的性质得到∠DPB=A+ADP,等量代换得到∠ADP=CPB,根据相似三角形的判定定理即可得到结论;

(2)根据相似三角形的性质得到,代入数据即可得到结论;

应用根据等腰三角形的性质得到∠A=B,根据相似三角形的性质得到ACBE=APBP,代入数据即可得到结论.

探究:(1)∵∠DPB=A+ADP,

∴∠DPC+CPB=A+ADP,

∵∠A=DPC,

∴∠ADP=CPB,

∵∠A=B,

∴△DAP∽△PBC;

(2)∵△DAP∽△PBC,

AP=4.5;

应用AC=BC,

∴∠A=B,

∵∠CPE=A,

∴∠A=CPE=B,

由探究得△CAP∽△PBE,

ACBE=APBP,

BC=4,CE=3EB,

BE=1,

AC=4,BP=AB﹣AP=6﹣AP,

AP(6﹣AP)=4,

AP=3+AP=3﹣

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