Question

1．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠DAB=60°，AD=6，AE=DE，求菱形BEDF的周长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形；
（2）求出∠DAE=30°，得出OD=$\frac{1}{2}$AD=3，再证出∠ADE=∠EDO=30°，在Rt△DEO中，由三角函数求出DE=$\frac{OD}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，即可得出菱形BEDF的周长．

解答 （1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵∠DAB=60°，
∴∠DAE=30°，∠ADB=60°，
∵AD=6，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，∠ADE=∠EDO=30°，
在Rt△DEO中，DE=$\frac{OD}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴菱形BEDF的周长=4DE=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的运用；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．