Question

【题目】定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图，已知、是上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是直线上的一点，若在上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是否为“智慧三角形”，理由见解析；（3）点的坐标，．

【解析】

（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）设正方形的边长为4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；
（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．

（1）解析】如图所示

（2）是否为“智慧三角形”，

理由如下：设正方形的边长为，

∵是的中点，∴，

∵，∴，，

在中，，

在中，，

在中，，

∴，

∴是直角三角形，

∵斜边上的中线等于的一半，

∴为“智慧三角形”；

（3）如图所示：

由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，

根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，

由勾股定理可得，，

由勾股定理可求得，

故点的坐标，．