Question

【题目】如图1，在 中， ，AC=BC， ， ，垂足分别为D，E．

（1）若AD=2．5cm，DE=1．7cm，求BE的长．

（2）如图2，在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到 ABC的外部，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：________．（不需证明）

（3）如图3，若将原题中的条件改为：“在 ABC中，AC=BC，D,C,E三点在同一条直线上，并且有 ，其中 为任意钝角”，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=0．8cm；（2）AD+BE=DE；（3）成立，证明详见解析．

【解析】

（1）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，从而可求出DC的长，即可得到BE的长．

（2）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE＝CE＋DE，即可证得结论．

（3）利用同样的方法，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE=EC+CD，即可得到DE，AD，BE之间的数量关系．

（1）解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

在 和 中，

，

，

∵DC=CE-DE，DE=1．7cm，

∴BE=0．8cm

（2）AD+BE=DE，（不需证明）理由如下：

证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE＝DC，CE＝AD，

∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE

（3）（2）中的猜想还成立，

证明：∵ ， ， ，

∴

在 和 中，

，

，

∴ ， ，

∴