Question

【题目】如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A. a2
B. a2
C. a2
D. a2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM ，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC= a，
∵EC=2AE，
∴EC= a，
∴EP=PC= a，
∴正方形PCQE的面积= a× a= a2 ，
∴四边形EMCN的面积= a2 ，
故选：D．
过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．