Question

如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC。

(1)求证：AD=EC；

(2)当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；

 

Answer 1

 (1)解法1

   证明：∵DE∥AB，AE∥BC，

         ∴四边形ABDE是平行四边形，

         ∴AE∥BD，且AE=BD

         又∵AD是BC边上的中线，

         ∴BD=CD

         ∴AE∥CD，且AE=CD

         ∴四边形ADCE是平行四边形

         ∴AD=CE

       解法2

    证明：∵DE∥AB，AE∥BC

          ∴四边形ABDE是平行四边形，∠B=∠EDC

          ∴AB=DE

          又∵AD是BC边上的中线

          ∴BD=CD

          ∴△ABD≌△EDC(SAS)

          ∴AD=EC

  (2)解法1

     证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，

           ∴AD=BD=CD

           又∵四边形ADCE是平行四边形

           ∴四边形ADCE是菱形

     解法2

     证明：∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，

           ∴DE⊥AC

           又∵四边形ADCE是平行四边形

           ∴四边形ADCE是菱形

     解法3

     证明：∵∠BAC=Rt∠，AD是斜边BC上的中线，

           ∴AD=BD=CD

           又∵AD=EC

           ∴AD=CD=CE=AE

           ∴四边形ADCE是菱形

  (3)解法1

     解：∵四边形ADCE是菱形

         ∴AO=CO，∠ADO=90°,

          又∵BD=CD

         ∴OD是△ABC的中位线，则

         ∵AB=AO

         ∴

         ∴在Rt△AOD中，

     解法2

      解：∵四边形ADCE是菱形

          ∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，

          ∵AB=AO

          ∴AB=

          ∴在Rt△ABC中，

          ∵AD=CD，

          ∴∠DAC=∠DCA

          ∴