Question

已知点A（m，n），B（p，q）（m＜p）在直线y=kx+b上．
（1）若m+p=2，n+q=2b²+6b+4．试比较n和q的大小，并说明理由；
（2）若k＜0，过点A与x轴平行的直线和过点B与y轴平行的直线交于点C（1，1），AB=5，且△ABC的周长为12，求k、b的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据点A（m，n），B（p，q）在直线y=kx+b上得出n、q的表达式，再根据m+p=2，n+q=2b²+6b+4可得出关于k的表达式，进而判断出k的符号，根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）先根据AC∥x轴，BC∥y轴，C（1，1）得出n，p的值，进而得出A，B两点的坐标，根据k＜0可知m＜1，q＜1，故AC=1-m，BC=1-q，由AB=5可得出关于m的一元二次方程，求出m的值即可得出A、B两点的坐标，代入直线y=kx+b即可得出k、b的值．

解答：解：（1）∵点A（m，n），B（p，q）在直线y=kx+b上．
∴n=km+b，q=kp+b．   
∴n+q=k（m+p）+2b．
∵m+p=2，
∴2b²+6b+4=2k+2b，
∴k=b²+2b+2=（b+1）²+1＞0，
∵m＜p，
∴n＜q；

（2）解1：∵AC∥x轴，BC∥y轴，C（1，1），
∴n=1，p=1，
∴A（m，1），B（1，q）．
∵k＜0，
∴m＜1，q＜1，
∴AC=1-m，BC=1-q，
∴

(1-m)2+(1-q)2=25 (1-m+(1-q)=12-5

，
整理得m²+5m+6=0，
解得m₁=-2，m₂=-3．
当m₁=-2时，q₁=-3，此时A（-2，1），B（1，-3），
代入直线y=kx+b得k₁=-

4

3

，b₁=-

5

3

；
当m₂=-3时，q₂=-2，此时A（-3，1），B（1，-2），
代入直线y=kx+b得k₂=-

3

4

，b₂=-

5

4

．
综上所述，当k₁=-

4

3

时，b₁=-

5

3

；当k₂=-

3

4

时，b₂=-

5

4

．
解2：∵AC∥x轴，BC∥y轴，C（1，1），
∴n=1，p=1，
∴A（m，1），B（1，q）．
∵k＜0，
∴m＜1，q＜1，
∴AC=1-m，BC=1-q．
依题意得

AC2+BC2=25 AC+BC=12-5

，
∴（AC+BC）²=7²，可得AC•BC=12，
∴

AC•BC=12 AC+BC=7

，
整理得AC²-7AC+12=0，
解得AC=3或AC=4．
当AC=3时，BC=4，此时A（-2，1），B（1，-3），
代入直线y=kx+b得k₁=-

4

3

，b₁=-

5

3

；
当AC=4时，BC=3，此时A（-3，1），B（1，-2），
代入直线y=kx+b得k₂=-

3

4

时，b₂=-

5

4

．
综上所述，当k₁=-

4

3

，b₁=-

5

3

；当k₂=-

3

4

时，b₂=-

5

4

．

点评：本题考查的是一次函数综合题，熟知一次函数的增减性、一次函数图象上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．