Question

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{1}{2}a{x^2}$+2x-a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为-1．
（1）求a的值；
（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；
（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入抛物线解析式，列出关于a的一元一次方程，通过解该方程求得a的值；
（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；
（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．

解答 解：
（1）∵A（-1，0）在抛物线$y=\frac{1}{2}a{x^2}+2x-a+1$上，
∴$\frac{1}{2}a-2x-a+1=0$，
∴解得a=-2．

（2）∴抛物线表达式为y=-x²+2x+3．
∴抛物线y=-x²+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．
∵点P关于原点的对称点为P'，
∴P'的坐标为（-1，-4）．

（3）直线PP'的表达式为y=4x，
图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（-1，-3），B'的坐标为（3，-3），
若图象G与直线PP'无交点，则B'要左移到M及左边，
令y=-3代入PP'，则$x=-\frac{3}{4}$，M的坐标为$（{-\frac{3}{4}，-3}）$，
∴$B'M=3-（{-\frac{3}{4}}）=\frac{15}{4}$，
∴$m＞\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A的坐标是隐含在题中的一个已知条件．