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【题目】如图,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,DE经过点O且平行于BC,分别与AB,AC交于点D、E。

(1)如图1,若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠BOC的度数;

(2)如图1,若∠ABC=α°,∠ACB=β°,用含α、β的式子表示∠BOC的度数;

(3)探究:如图空白图,在第(2)问的条件下,若∠ABC和∠ACB的邻补角的平分线交于点O,其他条件不变,请画出相应图形,并用含α、β的式子表示∠BOC的度数。

【答案】(1)125°;(2);(3)

【解析】整体分析

(1)根据角平分线的性质和平行线的性质,求出∠BOD+∠COE的度数即可;(2)与(1)的方法类似,用α,β表示∠BOD+∠COE的度数;(3)根据题意,画出图形,用角平分线的定义和三角形的内角和定理求解.

解:(1)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,

∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,

∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,

∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=55°.

∵DE∥BC,

∴∠OBC=∠BOD,∠OCB=∠COE,

∴∠BOC=180°-(∠BOD+∠COE)

=180°-(∠OBC+∠OCB)

=180°-55°=125°.

(2)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,

∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,

∵∠ABC=α°,∠ACB=β°,

∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(α+β).

∵DE∥BC,

∴∠OBC=∠BOD,∠OCB=∠COE,

∴∠BOC=180°-(∠BOD+∠COE)

=180°-(∠OBC+∠OCB)

=180°-(α+β).

(3)∵BO,CO分别为△ABC的外角的平分线,

∴∠OBC=90°-α,∠OCB=90°-β,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)

=180°-(90°-α+90°-β)

=(α+β).

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