Question

求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：证明题

分析：画出图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角、对应边相等可得∠B=∠B₁，BC=B₁C₁，再根据中线的定义求出BD=B₁D₁，然后利用两组对应边的比值相等且夹角相等的两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．

解答：已知：如图，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC和△A₁B₁C₁的相似比为k，AD、A₁D₁分别是△ABC和△A₁B₁C₁的中线．
求证：

AD

A1D1

=k．
证明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，
∴∠B=∠B₁，BC=B₁C₁，
∵AD、A₁D₁分别是△ABC，△A₁B₁C₁的中线，
∴BD=

1

2

BC，B₁D₁=

1

2

B₁C₁，
∴BD=B₁D₁，
∴△ABD∽△A₁B₁D₁，
∴

AD

A1D1

=

AB

A1B1

，
∴

AD

A1D1

=k．

点评：本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．