Question

【题目】感知：如图1，在中，D、E分别是AB、AC两边的中点，延长DE至点F，使，连结易知≌．

探究：如图2，AD是的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且，求证：．

应用：如图3，在中，，，，DE是的中位线过点D、E作，分别交边BC于点F、G，过点A作，分别与FD、GE的延长线交于点M、N，则四边形MFGN周长C的取值范围是______．

Answer 1

【答案】（1）探究：证明见详解 （2）应用：

【解析】

（1）探究：如图，延长AD至点M，使，连接MC，根据题意有≌，得到，，然后因为，，所以，即.

（2）应用：由题意知四边形MFGN是平行四边形，因为是的中位线，所以MN=FG=DE，故当NG⊥BC是四边形MFGN周长C的值最小，当NG与AC重合时四边形MFGN周长C最大，分别求出最大最小值即可.

（1）探究：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，

在和中，，

≌；

，，

，

，

，

，

，

；

（2）应用：解：如图3，

，，

四边形MFGN是平行四边形，

，，

是的中位线，

，，

，

四边形MFGN周长，

时，MF最短，

即：四边形MFGN的周长最小，

过点A作于H，

∴，

在中，，，

，，

，

∴，

四边形MFGN的周长C最小为，

四边形MFGN的周长C最大为，如图

故答案为：．