Question

【题目】阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称(2，2)是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：

（1）数对(，4)，(1，1)中，使＝1成立的“神奇数对”是　 　；

（2）若(5﹣t，5+t)是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值；

（3）若(m，n)是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）(，4)；（2）±；（3）﹣36

【解析】

（1）按照题中定义将数对（，4），（1，1）分别验算即可；

（2）根据题意得关于t 的分式方程，解方程即可；

（3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值．

解：（1）∵+＝+＝1

∴（，4）是使＝1成立的“神奇数对”．

∵+＝2≠1

∴（1，1）不是使＝1成立的“神奇数对”．

故答案为：（，4）；

（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，

则：+＝1

∴5+t+5﹣t＝25﹣t2

∴t＝±

经检验，t＝±是原方程的解

∴t的值为±；

（3）∵a＝b+m，b＝c+n

∴m＝a﹣b，n＝b﹣c

由题意得：+＝1

+＝1

∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c）

∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c）

∴（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）

＝（a﹣c）2﹣12（a﹣c）

＝（a﹣c﹣6）2﹣36

∵（a﹣c﹣6）2≥0

∴（a﹣c﹣6）2﹣36≥﹣36

∴代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36．