【题目】如图1,平面直角坐标系中,B、C两点的坐标分别为B(0,3)和C(0,﹣),点A在x轴正半轴上,且满足∠BAO=30°.
(1)过点C作CE⊥AB于点E,交AO于点F,点G为线段OC上一动点,连接GF,将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处,连接O′C,求线段OF的长以及线段O′C的最小值;
(2)如图2,点D的坐标为D(﹣1,0),将△BDC绕点B顺时针旋转,使得BC⊥AB于点B,将旋转后的△BDC沿直线AB平移,平移中的△BDC记为△B′D′C′,设直线B′C′与x轴交于点M,N为平面内任意一点,当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时,求点M的坐标.
【答案】(1) ;(2)或或或
【解析】
(1)解直角三角形求出OF,CF,根据CO′≥CF﹣O′F求解即可.
(2)分四种情形:①如图2中,当B′D′=B′M=BD=时,可得菱形MND′B′.②如图3中,当B′M是菱形的对角线时.③如图4中,当B′D′是菱形的对角线时.④如图5中,当MD′是菱形的对角线时,分别求解即可解决问题.
(1)如图1中,
∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,
∴∠CBE=60°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=90°,∠BCE=30°,
∵C(0,-),
∴OC=,OF=OCtan30°=,CF=2OF=3,
由翻折可知:FO′=FO=,
∴CO′≥CF-O′F,
∴CO′≥,
∴线段O′C的最小值为.
(2)①如图2中,当B′D′=B′M=BD=时,可得菱形MND′B′.
在Rt△AMB′中,AM=2B′M=2,
∴OM=AM-OA=2-3,
∴M(3-2,0).
②如图3中,当B′M是菱形的对角线时,由题意B′M=2OB=6,此时AM=12,OM=12-3,可得M(3-12,0).
③如图4中,当B′D′是菱形的对角线时,由∠D′B′M=∠DBO
可得,所以B′M=
则在RT△AM B′中,AM=2B′M=,所以OM=OA-AM=3-,所以M(3-,0).
④如图5中,当MD′是菱形的对角线时,MB′=B′D′=,可得AM=2,OM=OA+AM=3+2,所以M(3+2,0).
综上所述,满足条件的点M的坐标为(3+2,0)或(3-12,0)或(3-,0)或(3+2,0).
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【题目】如图,△ABC中,正方形DEFG的顶点D,G分别在AB,AC上,顶点E,F在BC上.若△ADG、△BED、△CFG的面积分别是1、3、1,则正方形的边长为( )
A. B. C. 2 D. 2
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【题目】甲、乙两车分别从相距420km的A、B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,两车分别以各自的速度匀速行驶,途经C地(A、B、C三地在同一条直线上).甲车到达C地后因有事立即按原路原速返回A地,乙车从B地直达A地,甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车行驶所用的时间x(小时)的关系如图所示,结合图象信息回答下列问题:
(1)甲车的速度是 千米/时,乙车的速度是 千米/时;
(2)求甲车距它出发地的路程y(千米)与它行驶所用的时间x(小时)之间的函数关系式;
(3)甲车出发多长时间后两车相距90千米?请你直接写出答案.
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【题目】如图,直线y=﹣x+5与双曲线(x>0)相交于A,B两点,与x轴相交于C点,△BOC的面积是.若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位,则所得直线与双曲线(x>0)的交点有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 0个,或1个,或2个
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【题目】阅读材料:一般情形下等式=1不成立,但有些特殊实数可以使它成立,例如:x=2,y=2时,=1成立,我们称(2,2)是使=1成立的“神奇数对”.请完成下列问题:
(1)数对(,4),(1,1)中,使=1成立的“神奇数对”是 ;
(2)若(5﹣t,5+t)是使=1成立的“神奇数对”,求t的值;
(3)若(m,n)是使=1成立的“神奇数对”,且a=b+m,b=c+n,求代数式(a﹣c)2﹣12(a﹣b)(b﹣c)的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0)的图象交于点A(3,1),且过点B(0,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)如果点P是x轴上一点,且△ABP的面积是3,求点P的坐标.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证:BD=DE;
(2)若∠ACB=30°,BD=8,求四边形BCDE的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;
(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.
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