【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;
(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.
【答案】(1)y=x2+4x﹣5;(2)20;(3)
【解析】
(1)根据题意可以求得a、b的值,从而可以求得抛物线的表达式;(2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离,从而可以求得△EAD的面积;(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式,再根据题意可以求得△ABP的面积,然后根据二次函数的性质即可解答本题.
(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),
∴,得,
∴此抛物线的表达式是y=x2+4x﹣5;
(2)∵抛物线y=x2+4x﹣5交y轴于点A,
∴点A的坐标为(0,﹣5),
∵AD∥x轴,点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,
∴点E的纵坐标是5,点E到AD的距离是10,
当y=﹣5时,﹣5=x2+4x﹣5,得x=0或x=﹣4,
∴点D的坐标为(﹣4,﹣5),
∴AD=4,
∴△EAD的面积是:=20;
(3)设点P的坐标为(p,p2+4p﹣5),如右图所示,
设过点A(0,﹣5),点B(﹣5,0)的直线AB的函数解析式为y=mx+n,
,得,
即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5,
当x=p时,y=﹣p﹣5,
∵OB=5,
∴△ABP的面积是:S=,
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,
∴﹣5<p<0,
∴当p=﹣时,S取得最大值,此时S= ,点p的坐标是(-,﹣),
即点p的坐标是(-,﹣)时,△ABP的面积最大,此时△ABP的面积是.
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【题目】如图1,平面直角坐标系中,B、C两点的坐标分别为B(0,3)和C(0,﹣),点A在x轴正半轴上,且满足∠BAO=30°.
(1)过点C作CE⊥AB于点E,交AO于点F,点G为线段OC上一动点,连接GF,将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处,连接O′C,求线段OF的长以及线段O′C的最小值;
(2)如图2,点D的坐标为D(﹣1,0),将△BDC绕点B顺时针旋转,使得BC⊥AB于点B,将旋转后的△BDC沿直线AB平移,平移中的△BDC记为△B′D′C′,设直线B′C′与x轴交于点M,N为平面内任意一点,当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时,求点M的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与轴交于点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标;
(3)作直线BC,若点Q是直线BC下方抛物线上的一动点,三角形QBC面积是否有最大值,若有,请求出此时Q点的坐标;若没有,请说明理由.
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【题目】如图,已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点。
(1)求抛物线的解析式。
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长。
(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点、,交轴于点,在轴上有一点,连接.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点,使为等腰三角形,若存在,请直接写出所有点的坐标,若不存在请说明理由.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,下列结论:
①b2>4ac;②ac>0; ③当x>1时,y随x的增大而减小; ④3a+c>0;⑤任意实数m,a+b≥am2+bm.
其中结论正确的序号是( )
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c均是常数)经过点O(0,0),A(4,4),与x轴的另一交点为点B,且抛物线对称轴与线段OA交于点P.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)过点P作x轴的平行线l,若点Q是直线上的动点,连接QB.
①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,求点Q的坐标;
②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时,求点Q的坐标(直接写出答案即可).
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=12cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度均为1cm/s.以AQ、PQ为边作AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤6).解答下列问题:
(1)当t为何值时,AQPD为矩形.
(2)当t为何值时,AQPD为菱形.
(3)是否存在某一时刻t,使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.
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