Question

8．已知：O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC
（1）若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC=α，请直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若OD将∠BOE分为1：2的两个角，求∠AOC．

Answer 1

分析 （1）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE=∠BOE-∠BOD求出即可．
（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE=∠BOE-∠BOD求出即可．
（3）把∠DOE当作已知数求出∠DOB，根据角平分线求出∠BOC，代入∠COD=∠COE+∠DOE=90°求出即可．

解答 解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°-90°-30°=60°，
∴∠COB=90°+60°=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°．
（2）∵∠COD是直角，∠AOC=α，
∴∠BOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COB=90°+90°-α=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-$\frac{1}{2}$α-（90°-α）=$\frac{1}{2}$α．
（3）当∠DOE：∠BOD=1：2时，设∠AOC=α，
∴∠BOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COB=90°+90°-α=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-$\frac{1}{2}$α-（90°-α）=$\frac{1}{2}$α
则$\frac{1}{2}$α×2=90°-α，解得α=45°
当∠DOE：∠BOD=2：1时，设∠AOC=α，
∴∠BOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COB=90°+90°-α=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-$\frac{1}{2}$α-（90°-α）=$\frac{1}{2}$α
则有$\frac{1}{2}$α=2（90°-α），解得α=72°．

点评 本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．