Question

19．已知四边形ABCD的四边分别是a，b，c，d，且a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 本题需先根据已知条件得出a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，然后再进行整理，得出（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0，再根据a，b，c，d都是正数这个条件，得出a=b，c=d，a=c，最后得出该四边形的四条边相等，则四边形ABCD是菱形．

解答 证明：由已知可得：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
（a²-b²）²+（c²-d²）²+2a²b²+2c²d²-4abcd=0，
∴（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
∴（a²-b²）²≥0，（c²-d²）²≥0，（ab-cd）²≥0，
∴a²-b²=c²-d²=ab-cd=0，
∴（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又∵a，b，c，d都为正数，
∴a+b≠0，c+d≠0，
∴a=b，c=d．
∴ab-cd=a²-c²=（a+c）（a-c）=0，
∴a=c，
∴a=b=c=d，即四边形ABCD是菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定，利用了“四条边相等的四边形为菱形”的判定定理证得结论，在解题时要注意采用综合法去证明这是解题的关键．