Question

已知二次函数y=x²-（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数，图象经过原点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）怎样平移此函数图象，使它在x＞2时，y随x的增大而增大，在x＜2时，y随x的增大而减小？

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到m²-2m-3=0，解m的一元二次方程得到m₁=3，m₂=-1，于是可确定二次函数解析式；
（2）先根据二次函数的性质确定平移后二次函数图象的对称轴为直线x=2，再把（1）中的解析式配成顶点式y=（x-1）²-1或y=（x+1）²-1，然后根据二次函数图象与几何变换的规律求解．

解答：解：（1）把（0，0）代入得m²-2m-3=0，解得m₁=3，m₂=-1，
所以二次函数解析式为y=x²-2x或y=x²+2x；
（2）因为平移后的二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大，在x＜2时，y随x的增大而减小，
所以平移后的二次函数图象的对称轴为直线x=2，
对于二次函数y=x²-2x=（x-1）²-1，抛物线的对称轴为直线x=1，所以把y=x²-2x向右平移1个单位；
对于二次函数y=x²+2x=（x+1）²-1，抛物线的对称轴为直线x=-1，所以把y=x²-2x向右平移3个单位．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了轴对称-最短路线问题．