【题目】二次函数图象如图,下列结论:①abc<0;②2a﹣b=0;③对于任意实数m,都满足am2+bm≤a+b;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有_____.(把正确的序号都填上)
【答案】①③⑤
【解析】
①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号,从而得到abc的符号;②只需利用抛物线对称轴方程x=﹣=1就可得到2a与b的关系;③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最大,从而解决问题;④只需根据抛物线的对称性就可得到x=﹣1与x=3所对应的函数值相同,然后根据图象确定x=3所对应的函数值的符号,即可得到x=﹣1所对应的函数值的符号;⑤由+bx1=+bx2可得+bx1+c=+bx2+c,然后利用抛物线的对称性即可解决问题.
①由抛物线的开口向下可得a<0,
由对称轴在y轴的右边可得x=﹣>0,从而有b>0,
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c>0,
则abc<0,故①正确;
②由对称轴方程x=﹣=1得b=﹣2a,即2a+b=0,故②错误;
③由图可知,当x=1时,y=a+b+c最大,
则对于任意实数m,都满足am2+bm+c≤a+b+c,即am2+bm≤a+b,故③正确;
④由抛物线的对称性可得x=﹣1与x=3所对应的函数值相同,
由图可知x=3所对应的函数值为负,
因而x=﹣1所对应的函数值为负,即a﹣b+c<0,故④错误;
⑤若+bx1=+bx2,且x1≠x2,则+bx1+c=+bx2+c,
所以抛物线上的点(x1,y1)与(x2,y2)关于抛物线的对称轴对称,
所以1﹣x1=x2﹣1,即x1+x2=2,故⑤正确.
故答案为①③⑤.
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【题目】如图,二次函数y=﹣x2+x+6与x轴相交A,B两点,与y轴相交于点C.
(1)若点E为线段BC上一动点,过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P,垂足为F,当PE﹣2EF取得最大值时,在抛物线y的对称轴上找点M,在x轴上找点N,使得PM+MN+NB的和最小,若存在,求出该最小值及点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)在(1)的条件下,若点P′为点P关于x轴的对称点,将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′,当y′经过点A时停止平移,将△BCN沿CN边翻折,点B的对应点为点B′,B′C与x轴交于点K,若抛物线y′的对称轴上有点R,在平画内有点S,是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形,若存在,直接写出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置,...,则正方形铁片连续旋转2019次后,点P的坐标为________
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【题目】如图,在中,过点作,垂足为点,过点分别作,,垂足分别为.连接交线段于点.
(1)在图一中,,,有几组相似的三角形,请写出来;
(2)在图二中,证明:;
(3)如果,,试求的值.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,BG=4,则△EFC的周长为( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
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【题目】如图,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,﹣1),(2,1).
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍,画出图形;
(2)分别写出B,C两点的对应点B′,C′的坐标;
(3)求△OB′C′的面积.
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】如图,在菱形中,,点是边的中点,点是边上一动点(不与点重合),延长交射线于点,连拉.
(1)求证:四边形是平行四边形。
(2)填空:
①当的值为_______________时,四边形是矩形;
②当的值为_______________时,四边形是菱形.
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【题目】如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为( )
A. 36 B. 12 C. 6 D. 3
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