Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．

如图，若点C的坐标为，试求点E的坐标；

如图，若点C在x轴正半轴上运动，且， 其它条件不变，连接DO，求证：OD平分

若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标为（0，2）；（2）详见解析；（3）∠OCB=60°．

【解析】

（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（2，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；

（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；

（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据SAS判定△OPD≌△OCD，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°．

（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，

∴∠AOE=∠BDE，

又∵∠AEO=∠BED，

∴∠OAE=∠OBC，

∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOE≌△BOC，

∴OE=OC，

又∵点C的坐标为（2，0），

∴OC=2=OE，

∴点E的坐标为（0，2）；

（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，

∵△AOE≌△BOC，

∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，

∵OM⊥AE，ON⊥BC，

∴OM=ON，

∴OD平分∠ADC；

（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，

∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，

∴△OPD≌△OCD，

∴OC=OP，∠OPD=∠OCD，

∵AD-CD=OC，

∴AD-DP=OP，即AP=OP，

∴∠PAO=∠POA，

∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，

又∵∠PAO+∠OCD=90°，

∴3∠PAO=90°，

∴∠PAO=30°，

∴∠OCB=60°．