Question

【题目】已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；正确的个数是（　　）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

Answer 1

【答案】D

【解析】

已知△ABC和△CDE都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，即可求得∠ACD＝60°，所以∠ACE＝∠BCD＝120°，再利用SAS即可判定△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质可得AE＝BD，所以①正确；由△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠CAE＝∠CBD，再利用ASA证明△ACN≌△BCM，由全等三角形的性质可得CN＝CM，又因∠MCN＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形即可判定△CMN为等边三角形，所以②④正确；由三角形外角的性质可得∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，因为∠CAE＝∠CBD，即可得∠CBD＋∠AEC＝60°，从而求得∠BOE＝120°，所以③正确；由△ACE≌△BCD，可得△ACE的面积与△BCD的面积相等，BD=AE，根据三角形的面积公式可得△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等，即可得点C到OB、OE的距离相等， 根据角平分线的判定定理可得点C在∠BOE的平分线上，即OC平分∠BOE，所以⑤正确.

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACE＝∠BCD＝120°，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD；故①正确；

∵△ACE≌△BCD，

∴∠CAE＝∠CBD，

在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM（ASA），

∴CN＝CM，

而∠MCN＝60°，

∴△CMN为等边三角形；故②④正确；

∵∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，

而∠CAE＝∠CBD，

∴∠CBD＋∠AEC＝60°，

∴∠BOE＝120°；故③正确；

∵△ACE≌△BCD，

∴△ACE的面积与△BCD的面积相等，

∵BD=AE,

∴△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等，

即点C到OB、OE的距离相等，

∴点C在∠BOE的平分线上，

即OC平分∠BOE，故⑤正确.

综上，正确的结论为①②③④⑤，共5个.

故选D.