Question

17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2），C（1，1），点P在x轴上，且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的2倍，则点P的坐标为（-1，0）或（2，0）．

Answer 1

分析 如图1所示先求得△ABC的面积，然后根据点P在x轴的正半轴和负半轴上分类计算即可．

解答 解：如图1所示，构造矩形CDEF．

S_△ACB=S_矩形-S_△CDA-S_△AEB-S_△CBF=3×3-$\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×3×1$=4．
∵四边形ABOP的面积是△ABC的面积的2倍，
∴四边形ABOP的面积=8．
当点P在x轴的正半轴上时，如图2所示：

S_△AOB=S_ODEB-S_△OAD-S_△AEB=$\frac{1}{2}×（2+4）×4-\frac{1}{2}×4×2-$$\frac{1}{2}×2×2$=6．
∴${S}_{△OPB}=\frac{1}{2}×2×OP=2$．
解得：OP=2．
∴点P的坐标为（2，0）．
当点P在x轴的负半轴上时，如图3所示：

∵四边形ABOP的面积=8，S_△AOB=6，
∴${S}_{△OPA}=\frac{1}{2}×4×OP=2$．
解得：PO=1．
∴点P的坐标为（-1，0）．
综上所述，点P的坐标为（-1，0）或（2，0）．
故答案为：（-1，0）或（2，0）．

点评 本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积和△ABO的面积是解题的关键．